SISTEMAS LINEALES

Método de Gauss

Se utiliza Gauss para resolver un par de sistemas de ecuaciones lineales y calcular el determinante de la matriz. El método seguido también podría utilizarse para obtener la inversa de la matriz, si fuera necesario. Se sigue el proceso clásico de reducción a triangular superior, incluyendo como columnas adicionales los vectores de términos independientes de aquellos sistemas que se quieran resolver. Una vez reducida, es sencillo obtener el valor del determinante de la matriz y resolver los sistemas de ecuaciones lineales, con coste O(n^2). En algunos ejercicios no se usa pivotación, y en otros, o bien se aplica pivotación parcial por filas (se explora la columna y se permuta con la fila que contiene el máximo) o bien por columnas (se explora la fila y se permuta con la columna que contiene el máximo).

Método de Gauss-Jordan

Por la aplicación del método de Gauss-Jordan se resuelven un par de sistemas de ecs. lineales, se calcula el valor del determinante y se obtiene la matriz inversa. Para ello, se realiza la reducción a matriz diagonal, se obtiene entonces el valor del determinante y se resuelven los sistemas, con coste O(n). Puede no utilizarse pivotación, o bien aplicar pivotación parcial por filas (se explora la columna y se permuta con la fila que contiene el máximo) o por columnas (se explora la fila y se permuta con la columna que contiene el máximo). A la matriz original se le añadieron como últimas columnas los diferentes vectores de términos independientes de los sistemas lineales que se quieren resolver, y a continuación, la matriz identidad para obtener la inversa. Sin pivotación o con pivotación parcial por filas, el cálculo de la matriz inversa y las soluciones de los sistemas es prácticamente inmediata, siendo algo más elaborada en el caso de pivotación parcial por columnas.

Factorización de Crout

Una vez factorizada la matriz, se usa para resolver un sistema de ecuaciones y calcular el determinante. También se puede obtener la inversa si es necesario. En la factorización, se usa pivotación parcial o bien no se utiliza ningún tipo de pivotación, según los casos. Pendiente de incorporar la pivotación parcial equilibrada. En los cálculos, se utilizan los factores L y U, y si ha habido pivotación, el vector de permutaciones de filas. La solución del ejercicio incluye la resolución paso a paso de los diferentes apartados hasta obtener la solución final. Los órdenes considerados para la matriz van de 3 a 5 y los ejercicios aparecen de menor a mayor orden de la matriz.

Factorización de Doolittle

Obtenida la factorización, se usa para resolver un sistema de ecuaciones y calcular el determinante. También se puede obtener la inversa si es necesario. En la factorización, se usa pivotación parcial o bien no se utiliza ningún tipo de pivotación, según los casos. Pendiente de incorporar la pivotación parcial equilibrada. En los cálculos, se utilizan los factores L y U, y si ha habido pivotación, el vector de permutaciones de filas. Cuando se utiliza pivotación, es necesario "precalcular" los elementos de la subcolumna, lo que introduce una etapa que es innecesaria en Crout. La solución del ejercicio incluye la resolución paso a paso de los diferentes apartados hasta obtener la solución final. En la factorización aparecen en diferente color los elementos de las filas y columnas que se van obteniendo, como patrón visual del orden correcto de obtención de la matriz factorizada. Los órdenes considerados para la matriz van de 3 a 5 y los ejercicios aparecen de menor a mayor orden de la matriz.

Factorización de Cholesky

Obtención de la factorización de Cholesky de una matriz simétrica definida positiva. También se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y se calcula el valor del determinante. Si fuera necesario, también se podría utilizar la factorización para obtener la inversa de la matriz original. Como en la factorización LU, el sistema lineal se resuelve considerando los dos sistemas resultantes, el primero con matriz triangular superior y el segundo con matriz triangular inferior. Los órdenes considerados para la matriz son 3 y 4.

Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR

Se resuelve (20 iteraciones) un sistema de ecuaciones lineales por los tres métodos iterativos, partiendo de un vector inicial x^(0) dado. Se realizan los cálculos con los tres métodos: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR, éste último con dos valores fijos del parámetro de relajación (0.9 y 1.1) para apreciar las diferentes velocidades de convergencia. Cuando se pide resolver el ejercicio por SOR, el tercer valor del parámetro de relajación es aleatorio, sin considerar que sea óptimo para ese tipo de matriz. En cada iteración, se muestran las estimaciones de los errores absoluto y relativo, según la norma vectorial del máximo. Los órdenes de los sistemas varían entre 3 y 5.



OTROS EJERCICIOS