Los métodos considerados en este bloque son la extrapolación de Richardson aplicada a la derivación numérica, la integración de Romberg y la de Gauss-Legendre.
Se quiere obtener una estimación de la derivada primera o segunda
de una cierta función en un determinado punto. La estimación se quiere
con una precisión concreta, por ejemplo, con cuatro decimales
correctos.
Para ello se utiliza una de las fórmulas, progresiva o central, que
estima la derivada en ese punto. Para construir la tabla, se parte del
valor inicial de 'h' dado en el enunciado del ejercicio, y se obtienen
las estimaciones para otros valores de 'h' (a medida que se
necesiten), colocándolos en la primera columna de la tabla. El resto
de las columnas se obtiene aplicando la extrapolación de Richardson
(con la fórmula adecuada) a los valores de la columna inmediatamente
anterior.
Una primera tabla utiliza la construcción usual, utilizando un valor
inicial de 'h' y considerando que el valor siguiente es la mitad del
anterior, o sea, 'h/2', y así sucesivamente.
En la segunda tabla se consideran un par de valores por los que se va
multiplicando en sucesión el valor inicial de 'h' a efectos de obtener
una lista que se usará como valores sucesivos de 'h' a fin de obtener
las diferentes estimaciones T0i de la derivada
según la fórmula que proceda.
Aunque en la solución se calculan siempre siete líneas, cuando se
realice un ejercicio concreto, estas se calcularían solamente si fuera
necesario por no haberse logrado aún la convergencia.
Dado que es la extrapolación de Richardson aplicada a un conjunto de estimaciones de la integral por la regla trapezoidal, la primera de las columnas se obtiene considerando 2, 3, 5, 9, etc.(2k+1, para k = 0,1,2,...) puntos en el intervalo de integración, lo que supone que los valores sucesivos de 'h' se obtienen dividiendo por 2 el valor anterior, siendo el valor inicial h0=b-a. El resto de las columnas resulta de aplicar la extrapolación a los valores obtenidos en la columna inmediatamente anterior. Aunque los ejercicios siempre incluyen un número fijo de filas, el cálculo de una fila se realizaría sólo si con las filas anteriores no se ha producido la convergencia al valor requerido con la precisión deseada.
Dado un número de puntos 'n', para aplicar la fórmula de Gauss-Legendre basta considerar las raíces del polinomio de Legendre de grado 'n' y los pesos asociados a dichas raíces. Si el intervalo de integración no es el [-1,1], se realiza el cambio de variable adecuado y se obtiene la estimación del valor de la integral con los 'n' puntos de una forma directa y sencilla. Se obtiene también la cota teórica de error al estimar la integral de esa función en el intervalo considerado y con ese número de puntos.