DERIVACIÓN e INTEGRACIÓN

Los métodos considerados en este bloque son la extrapolación de Richardson aplicada a la derivación numérica, la integración de Romberg y la de Gauss-Legendre.

Extrapolación de Richardson

Se quiere obtener una estimación de la derivada primera o segunda de una cierta función en un determinado punto. La estimación se quiere con una precisión concreta, por ejemplo, con cuatro decimales correctos.
Para ello se utiliza una de las fórmulas, progresiva o central, que estima la derivada en ese punto. Para construir la tabla, se parte del valor inicial de 'h' dado en el enunciado del ejercicio, y se obtienen las estimaciones para otros valores de 'h' (a medida que se necesiten), colocándolos en la primera columna de la tabla. El resto de las columnas se obtiene aplicando la extrapolación de Richardson (con la fórmula adecuada) a los valores de la columna inmediatamente anterior.
Una primera tabla utiliza la construcción usual, utilizando un valor inicial de 'h' y considerando que el valor siguiente es la mitad del anterior, o sea, 'h/2', y así sucesivamente. En la segunda tabla se consideran un par de valores por los que se va multiplicando en sucesión el valor inicial de 'h' a efectos de obtener una lista que se usará como valores sucesivos de 'h' a fin de obtener las diferentes estimaciones T0i de la derivada según la fórmula que proceda. Aunque en la solución se calculan siempre siete líneas, cuando se realice un ejercicio concreto, estas se calcularían solamente si fuera necesario por no haberse logrado aún la convergencia.

Integración de Romberg

Dado que es la extrapolación de Richardson aplicada a un conjunto de estimaciones de la integral por la regla trapezoidal, la primera de las columnas se obtiene considerando 2, 3, 5, 9, etc.(2k+1, para k = 0,1,2,...) puntos en el intervalo de integración, lo que supone que los valores sucesivos de 'h' se obtienen dividiendo por 2 el valor anterior, siendo el valor inicial h0=b-a. El resto de las columnas resulta de aplicar la extrapolación a los valores obtenidos en la columna inmediatamente anterior. Aunque los ejercicios siempre incluyen un número fijo de filas, el cálculo de una fila se realizaría sólo si con las filas anteriores no se ha producido la convergencia al valor requerido con la precisión deseada.

Integración de Gauss-Legendre

Dado un número de puntos 'n', para aplicar la fórmula de Gauss-Legendre basta considerar las raíces del polinomio de Legendre de grado 'n' y los pesos asociados a dichas raíces. Si el intervalo de integración no es el [-1,1], se realiza el cambio de variable adecuado y se obtiene la estimación del valor de la integral con los 'n' puntos de una forma directa y sencilla. Se obtiene también la cota teórica de error al estimar la integral de esa función en el intervalo considerado y con ese número de puntos.



OTROS EJERCICIOS