ECUACIONES NO LINEALES

Los métodos considerados son el de bisección, el de la secante y el de Newton-Raphson en el caso unidimensional. Pendiente el método de la regla falsa. Para el caso n-dimensional (n=2,3,4), usaremos el método de Newton para sistemas.

Método de bisección

Dada una determinada función continua en un intervalo dado, que tiene al menos una raiz en dicho intervalo, se obtiene una sucesión de puntos que se van aproximando a una solución buscada en el intervalo. Los puntos de dicha sucesión se obtienen calculando el punto medio del intervalo actual que se está considerando. La convergencia es lineal y puede ser lenta. Se construye una tabla (con un número máximo de 30 iteraciones) y para cada iteración se consideran los errores. Por último, los datos obtenidos se llevan a una gráfica en la que se puede apreciar la sucesión de puntos que van convergiendo al valor pedido de la raiz.

Método de la secante

Al igual que con bisección, se considera una función que tiene al menos una raiz en el intervalo en estudio. Se obtienen las diferentes iteraciones y se llevan a una tabla que contiene las diferentes iteraciones obtenidas, así como las estimaciones de los errores absoluto y relativo que corresponden a la iteración. A la gráfica de la función se le añaden los puntos obtenidos, y las diferentes secantes que resultan al dibujar el segmento que une las dos últimas iteraciones: (xn-1, f(xn-1)) y (xn, f(xn)). El punto de corte de este segmento con el eje de abscisas 'x' es la abscisa de la nueva iteración obtenida (xn+1, f(xn+1)). En algunos de los ejemplos se puede apreciar que, a pesar de que el valor en alguna iteración salga fuera del intervalo donde está la raiz, el método se reconduce y obtiene una raíz en el intervalo propuesto.

Método de Newton-Raphson

En los ejercicios se calcula una raiz de una cierta función en un intervalo determinado, partiendo de una aproximación inicial dada. La solución se pide con seis cifras decimales correctas, para lo que se construye una tabla con los valores de las iteraciones sucesivas, incluyendo también columnas para las estimaciones de los valores absoluto y relativo, así como la constante de error asintótico. En general, el ejercicio parte de ambos extremos del intervalo y obtiene las correspondientes tablas. Al final, se dan las gráficas del funcionamiento del algoritmo, hasta donde sea posible representarlo. En algunos casos, se puede seguir fácilmente el esquema iterativo, y en otros resulta menos sencillo. Hay varios ejemplos que coinciden con los vistos en el método de la secante, de forma que se pueden comparar las soluciones encontradas. Para algunos de estos ejemplos, se ha debido modificar un extremo del intervalo para que se produzca la convergencia. También, se han incluido algunos ejemplos en los que el algoritmo converge a raíces diferentes según sea el extremo del intervalo elegido.

Funciones iteración en Newton-Raphson

Se plantea un cálculo sencillo, en el que es posible utilizar Newton-Raphson. Por ejemplo, obtener un punto de intersección de dos curvas dadas, o calcular el logaritmo de cierto número en una determinada base.
A partir de los datos dados, se propone una función que tenga como raiz la cantidad pedida. Con la función y su derivada se construye la función de iteración que resulta al aplicar Newton-Raphson. Considerando entonces como aproximación inicial x0 la dada en el enunciado del ejercicio, se calcula una tabla con las iteraciones correspondientes según la función de iteración.
Se indica en qué iteración se obtuvo la convergencia con la tolerancia pedida y se proporciona también una gráfica en la que aparecen las funciones que intervienen y la linea poligonal obtenida con las sucesivas iteraciones.

Sistemas no lineales. Newton-Raphson para sistemas.

Se quiere obtener una solución de un sistema de ecuaciones no lineales, que puede ser bidimensional, tri- o tetradimensional. Se proporciona un vector como aproximación inicial a la solución y se utiliza el método de Newton-Raphson para sistemas para obtener una estimación del valor pedido, partiendo de la aproximación inicial dada. Se construye una tabla en la que aparecen los vectores que resultan en las diferentes iteraciones, y la estimación de los errores absoluto y relativo en cada iteración, considerando la norma del máximo. El vector solución final de la tabla se obtiene con una precisión de al menos 16 decimales correctos. En los ejercicios de dimensión 2 ó 3 también aparece una gráfica en la que se incluyen algunos detalles que aparecieron en la aplicación del método. En el caso 3D la figura se ha rotado para hacer visibles los puntos obtenidos en la tabla.



OTROS EJERCICIOS