INTERPOLACIÓN y APROXIMACIÓN

Contienen ejercicios resueltos sobre los contenidos del temario de la parte de Interpolación y Aproximación de funciones de la asignatura Análisis Numérico. Los métodos usados son: Fórmula de interpolación de Lagrange, Newton en diferencias divididas, Fórmulas progresiva y regresiva de Newton, el Error en la interpolación polinómica, Interpolación por splines cúbicos, Técnica de los mínimos cuadrados discreta e Interpolación racional usando el algoritmo de Thiele. Los ejercicios están completamente resueltos, y en general aparecen en el orden conveniente para ser usados, dependiendo del número de puntos, etc.

Interpolación de Lagrange

La fórmula clásica de interpolación de Lagrange. En los ejercicios s consideran de dos a cinco puntos, y los grados resultantes van desde grado cero a grado cuatro en el polinomio de interpolación. A lo largo de los ejercicios se puede comprobar que la obtención del polinomio con Lagrange se vuelve una operación más laboriosa a medida que aumenta el número de puntos considerados, aunque los puntos correspondan a un polinomio de pequeño grado. Los ejercicios están ordenados según número de puntos.

Interpolación de Newton en diferencias divididas

Fórmula fundamental de Newton, más eficiente que la de Lagrange. El número de puntos considerados oscila entre dos y seis, y grados del polinomio entre uno y cinco. Si bien con Lagrange es importante el número de puntos con los que se trabaja, con Newton ya lo es menos, porque p.e., si los datos proceden de un polinomio que tiene grado tres, el hecho queda claro en los cálculos, ya que la tercera columna de la tabla de diferencias divididas será constante, con todos sus elementos iguales, y por tanto, las columnas que siguen son todas nulas. La última columna no nula decide por tanto el grado del polinomio de interpolación. El coste en número de operaciones a realizar es bastante menor que con Lagrange y el polinomio que se obtiene es más sencillo de evaluar y manejar. Los ejercicios están ordenados según número de puntos.

Interpolación de Newton en diferencias finitas

Uso de las fórmulas de interpolación de Newton en diferencias progresivas y regresivas, cuando los datos están tabulados de forma que la diferencia entre dos valores consecutivos del vector de abscisas es constante, o sea, sus valores son equidistantes. La fórmula en diferencias progresivas se usa para interpolar en valores próximos al punto inicial (x0), mientras que la fórmula en difrencias regresivas es conveniente cuando se quiere interpolar en valores próximos al último de los que aparecen en la tabla (xn). Igual que con la fórmula de Newton en diferencias divididas, la última columna no nula decide el grado del polinomio de interpolación. Cada ejercicio se realiza con ambas fórmulas, progresiva y regresiva, utilizando todos los puntos dados. Y se interpola en un punto concreto, utilizando una de las fórmulas, según corresponda. Los ejercicios están ordenados según número de puntos.

Error en la interpolación polinómica

Los ejercicios consideran una determinada función que se quiere aproximar en un cierto intervalo por interpolación polinómica. Para ello se toman un cierto número de puntos en dicho intervalo y se utiliza la fórmula para estimar el error que se comete cuando se utilizan esos puntos para aproximar esa función. La elección de los puntos puede ser de forma aleatoria, equidistantes en el intervalo, o según Tchebychev. Se consideran entre tres y cinco puntos. Existe salida gráfica de la propia función, del polinomio de interpolación, puntos de interpolación en el intervalo considerado y punto donde se interpola. Para obtener la estimación, en primer lugar se considera un punto fijo del intervalo, diferente a los de interpolación. A continuación, se deja variable en el intervalo el punto donde se interpola y se procede a acotar el error. Los ejercicios están ordenados según número de puntos.

Interpolación por splines cúbicos

Se considera una función arbitraria para ser aproximada en un cierto intervalo por splines cúbicos, considerando un conjunto de puntos en dicho intervalo, entre tres y cinco puntos. También se pide el valor por interpolación en un punto interior del intervalo. Se construye analíticamente la función polinómica a trozos que representa el spline mediante un procedimiento con cuatro pasos. Sobre la gráfica de la función en la totalidad del intervalo en estudio, se dibujan los puntos de interpolación y los polinomios correspondientes en cada subintervalo. Se indican asimismo el punto donde se interpola y la diferencia con el valor de la función, analíticamente siempre, y gráficamente cuando sea posible. El número de puntos determina el orden del sistema lineal a resolver, con un valor máximo de 3. Los ejercicios están ordenados según número de puntos.

Técnica de los mínimos cuadrados discreta

Se tiene una determinada función expresada como combinación lineal de otras funciones más elementales. Estas funciones básicas aparecen multiplicadas por unos ciertos coeficientes por determinar. Se dispone de un conjunto de puntos u observaciones sobre el comportamiento de la función inicial, eventualmente asociados a unos ciertos pesos, estrictamente positivos. En ocasiones, todos los pesos son la unidad. Se obtienen los coeficientes de la combinación lineal utilizando la técnica de mínimos cuadrados discreta, ajustando los puntos y pesos considerados. El número de funciones básicas está limitado a dos o tres funciones. El número de puntos y pesos oscila entre cuatro y seis. El ejercicio también pide una estimación del valor de la función ajustada en un determinado punto. Se calcula asimismo el error mínimo cuadrático con el conjunto de puntos dados.

Interpolación racional. Algoritmo de Thiele

Obtención de la función racional que interpola en el conjunto de puntos dado. Para mantener los cálculos a realizar en unos límites razonables, se ha considerado que los grados de los polinomios numerador y denominador no excedan de 3. El número de puntos considerados para interpolación está entre tres y ocho. Una vez obtenida la tabla de diferencias inversas, se obtienen las diferentes funciones racionales que interpolan en los primeros puntos, hasta considerar la totalidad de los mismos. El orden de complejidad de los ejercicios es progresivo, considerando primero los más sencillos, para luego ir aumentando en número de puntos y grados de los polinomios, hasta el máximo de 3 indicado. Las ecuaciones en fracciones continuas aparecen con los primeros sumandos desplazados hacia abajo.



OTROS EJERCICIOS